선형대수학#3. 단위 행렬과 거듭제곱, 곱셈의 특성

지난 시간에 선형대수의 행렬에 대한 개념과 덧셈, 곱셈에 대해 다뤄봤습니다.
이번에는 곱셈을 한 경우 혹은 여러 행렬을 곱셈할 경우, 어떻게 해야하는지 다뤄보겠습니다.
 
먼저 곱셈은 교환법칙이 성립되지 않습니다. 이 부분은 이전에 설명했기 때문에 간단히 정리하고 넘어가겠습니다.
 

더 중요한 부분은, 결합법칙과 분배법칙은 성립되는 점입니다.
 
결합 법칙은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

결합법칙(덧셈) 예시

이제 분배법칙을 살펴보면, 아래와 같고요.

분배법칙(덧셈) 예시

교환법칙이 성립되지 않는다는 말은 덧셈, 곱셈 순서가 정해져있다는 의미입니다. 앞에서부터 하거나 뒤에서부터 하거나 무조건 순서대로 해야합니다.
이 부분은 이전에 다뤘기 때문에 증명하지 않아도 이해 가능할거라 믿고 넘어가겠습니다.

 두 번째로 살펴볼 내용은 단위 행렬입니다.
단위 행렬은 정방행렬이며, 행렬식은 1입니다. 다시 말하면 가역행렬이란 소리입니다.
가장 중요한 점은 주대각성분은 모두 1이며 그 외의 원소들은 0이란 점입니다.

예시를 들면 아래와 같습니다.

단위 행렬

단위 행렬이 뭔진 알겠는데 이게 중요한가? 싶으실 텐데요. 아주 중요합니다.

단위행렬의 역함수는 단위행렬입니다. 뭔소린지 이제 이해가 가실까요? 앞뒤가 똑같은 녀석입니다. 

행렬식은 1이기 때문에 역수를 취해도 여전히 1입니다. 그렇기 때문에 단위행렬은 늘 크기가 1이고 거듭제곱을 해도 크기가 변하지 않으며, 모양도 안 변합니다. (1은 거듭제곱해도 여전히 1입니다.)

 

기본행 연산을 할 때 사용되는 이유도 이런 점 덕분입니다.

추후에 대각화를 통한 거듭제곱을 배울 때도, 회전 행렬을 배울 때도 사용되니, 단위 행렬의 성질을 꼭 기억하고 넘어가면 좋을 듯 합니다.