선형대수학 #0.행렬이란, 행과 열, 사칙연산 공식

공학수학을 시작하기 이전에 꼭 필수적인 선수과목이라 할 수 있는 선형대수에 대해 정리해보겠습니다.

 

선형대수는 행렬이라는 개념을 주로 다루며 행렬을 이용해 연립방정식으로 풀 수 있습니다. 아마 행렬이라는 개념 자체가 생소한 사람도 많을 텐데요, 교육 과정이 너무 자주 변경되면서 선택과목이 되거나 대학 입학 후에야 익히게 되는 분들도 종종 있습니다.

 

먼저 행렬이란,

 

행과 열로 이루어진 묶음. 정도로 받아들이시면 될 것 같습니다.

 

행(row)란 가로로 나열되는 숫자들의 묶음입니다.

 

4X1 행

열(column)이란 세로로 나열되는 숫자들의 묶음입니다.

1X4열

행과 열이 헷갈리시면 가로, 세로 순서에 맞춰 외우면 도움이 될 듯 합니다.

 

(행 = 가로, 열 = 세로)

 

이제 행과 열을 알았으니 행렬이 뭔지 감이 잡히시겠지요?

 

행렬이란 행과 열로 이루어진 묶음, 예시는 다음과 같습니다.

 

3X3 행렬

이처럼 3X3행렬처럼 행과 열의 갯수가 동일한 행렬을 정방행렬이라고 합니다.

다시 말하면, 행과 열의 갯수가 동일하지 않는 행렬도 많이 있습니다. 다만 우리에게 정방행렬이 중요한 이유는 행렬식 때문입니다.

행렬식은 추후에 다시 다루도록 하겠습니다.

 

이제 행렬을 읽어보도록 하겠습니다.

위 행에서 1행 2열에 해당하는 원소를 말할 수 있으신가요?

(여기서 원소란, 행렬 안의 숫자를 의미합니다.)
.
.
.
정답은 2입니다.

(다른 예시로 3행 3열에 해당하는 원소는 9입니다.)

 

이처럼 행렬을 계산하기 위해서는 먼저 행렬을 제대로 읽는 것부타 시작합니다.

행렬을 이해했으니 행렬을 연산, 즉 사칙연산하는 방법을 알아보겠습니다.

 

행렬을 더하고 빼는 계산을 하기 전에, 확인해야 하는 중요한 점이 있습니다.

바로 행렬의 크기입니다.

우리가 복소수 계산을 할 때 실수부와 허수부끼리 계산하듯이 행렬도 계산하기 위해서는 비슷한 크기여야 가능합니다.

행렬 A가 3X3행렬이고, 행렬 B가 3X3행렬이라면 아주 간단하게 계산할 수 있습니다.

일반적으로 공식화하면, A(m x n), B(p x q) 행렬을 사칙연산하기 위해서는 m = q 가 성립해야 합니다.

또한, A, B 행렬을 연산한 결과의 행렬을 C라고 할 때 C(n x p)가 됩니다.

하지만 오늘은 처음이므로 같은 크기의 행렬만 계산합니다.

행렬을 연산할 때는 순서가 중요합니다. 여기서 A+B라 하였다면 A행렬의 (1,1) 원소와 B행의 (1,1) 원소를 서로 계산하면 됩니다.

같은 위치에 있는 숫자끼리 더하고 뺀 후 같은 자리에 적어넣기만 하면 됩니다.

따라서 A + B = C라는 행렬이 성립할 때, C 행렬은 다음과 같습니다.

 

이런 식으로 더하기/빼기 연산은 아주 간단합니다. 문제는 A*B = D라는 행렬을 구할 경우입니다.

곱셈의 경우 순서가 매우 중요하기 때문에 일반적인 사칙연산할 때처럼 곱셈 순서를 바꾸면 대참사가 일어납니다. 먼저 곱셈을 한 후 어떻게 결과가 다른지 보여드리겠습니다.

 

곱셈의 경우 A행렬의 1행의 원소와 B행렬의 1열의 원소를 서로서로 곱해주면 됩니다.

따라서 D 행렬의 (1,1) 자리에 들어갈 원소는 3*1 + 1*7 + 0*2 = 10입니다.

이렇게 A행렬의 1행을 B행렬의 1열, 2열, 3열 순서대로 계산한 후 D 행렬의 1행에 순서대로 적어넣습니다.

D 행렬은 다음과 같습니다.

다들 같은 답을 구하셨겠죠?

이제 순서를 바꿔서 곱셈을 할 경우 어떤 일이 벌어지는지 알아보겠습니다.

B*A = E라는 행렬을 구하려면 B행렬의 1행과 A행렬의 1열을 서로서로 곱해줘야 합니다. 시작할 땐 뭐가 다른지 잘 감이 안오시겠지만 시험에서 3X3 행렬을 다 채운 후에 이상함을 눈치채도 늦었답니다...

E 행렬은 다음과 같습니다.

D 행렬과는 완전히 다른 결과를 얻을 수 있습니다. 이렇게 연산 순서의 중요성을 깨닫고 실전에서는 이런 실수하지 않기를 바라며 오늘은 이면 마무리하겠습니다.