선형대수학 #1. 정칙/가역 행렬과 역행렬

역행렬은 일정 조건을 만족하는 행렬에만 존재하는 행렬입니다.

역행렬을 구해야 하는 행렬을 A 행렬이라고 가정할 때, A 행렬은 정방행렬이여야 하며, 가역행렬이여야 합니다. (정방행렬이 아니더라도 구할 수는 있지만 계산 절차가 하나 늘어납니다.) 

 

 

역행렬의 정의는, A 행렬에 A 행렬의 역행렬을 곱하면 단위행렬이 된다, 입니다만.

 

여기서 단위행렬이란, 먼저 정방행렬(행과 열의 크기가 같다는 의미)이며, 대각원소들이 모두 1이고 그 외 나머지 원소들은 모두 0인 행렬입니다. 예시를 들면 다음과 같습니다.

단위행렬

 

단위행렬은 독특한 행렬입니다. 중요한 성질들이 있지만 지금은 역행렬이 존재하며 행렬식이 1인 행렬.

 

참고로, 단위행렬의 역행렬은 단위행렬입니다. (당연하게도)

 

이제 또 모르는 개념이 나왔습니다. 행렬식은 또 뭐지 싶으실 텐데요.

 

행렬식이란 공식을 통해서 구한 행렬의 값. 정도로 이해하면 됩니다.

 

행렬식은 다음과 같은 기호와 표현이 있습니다. 모두 같은 의미이니 아 이렇게 쓰기로 합의했군, 정도로 받아들이세요.

 

행렬식 표현

 

행렬식을 구하는 방법은 여러 가지고 나중에 다루도록 하겠습니다.

먼저 역행렬을 이해하기 위한 최소한의 개념만 알고 넘어가겠습니다.

 

드디어 역행렬을 뭔지 봅시다. 역행렬이란 다음과 같은 기호를 사용합니다. 당연히 행렬 A의 행과 열의 갯수가 동일하며 행렬 A의 유일한 역행렬입니다.

역행렬

이제 그래서 역행렬은 어디다 써먹냐는 생각이 들텐데요, 진짜 다양하게 쓰입니다. 굳이 비유하자면 구구단 수준으로 많이 쓰입니다.

구구단 안 외우고 수학 가능합니까? 일단 역행렬을 모르면 선형대수는 못해요,,,

 

사설은 접어두고, 역행렬의 아주 기본적인 성질만 설명해보겠습니다.

먼저 앞서서 언급했던,

 

1. 행렬 A의 역행렬을 행렬 A에 곱하면 단위 행렬이 됩니다.

  이게 역행렬의 성립조건이니 당연합니다. 역행렬은 교환법칙이 성립하는 예외적인 행렬입니다.

단, 교환법칙이 될 때도 있고 안 될 때도 있으면 헷갈리니까 역행렬도 그냥 맨 앞에 곱해버리세요.

  여기서 말하는 앞에 곱한다는 의미는 아래와 같은 순서입니다.

역행렬 계산

  I는 단위행렬을 의미합니다. 언급했듯이 단위 행렬의 행렬식은 1입니다.

 

2. 역행렬 행렬식은 행렬 A의 행렬식의 역수입니다.

 

역행렬의 행렬식 계산

  det(A)에 역수를 곱하면 1이 된다는 점을 통해 기억하셔도 좋습니다.

 

3. 역행렬이 존재한다면, 그 행렬은 가역행렬이며, 행렬식이 0이 아닙니다. (당연히 정방행렬입니다.)

  여기서 조금 뭔소리냐 싶을수도 있는데, 역행렬과 가역행렬은 필요충분조건 관계입니다.

  동의어나 다름없으니까 곰곰히 생각해보셔요.

 

4. 역행렬의 행과 열의 갯수는 A 행렬의 행과 열의 갯수와 동일합니다.

  진짜 당연한데 혹시라도 놓치실까봐 적어놓습니다.

 

5. 역행렬은 일반적으로 3가지 방법으로 구할 수 있습니다.

  1) 가우스-조르단 기본행 연산 방법

  2) 라플라스를 이용한 방법

  3) 수반행렬을 이용한 방법

  4) 시험을 위한 공식

 

아마 제일 궁금하고 많이 쓰는 건 4번이겠죠. 단, 이건 2X2 행렬에만 1초만에 적용 가능하고요, 3X3행렬쯤 되면 위 3가지 방법 중 하나로 풀어야 합니다. 

 

일단 2X2 행렬에 대한 역행렬 공식은 다음과 같습니다.

2x2 역행렬 공식

아주 쉽죠? 물론 행렬식을 구해야하긴 하지만, 알고 있다면 3초만에 끝납니다.

 

 

2X2 행렬의 행렬식을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

2x2 행렬의 행렬식 공식

 

대각선으로 곱하고 빼주면 됩니다. 순서 중요하니 좌측상단에서 아래로 시작하는 거 잊지 마세요.

m, q가 해당하는 부분이 주대각선, 그 원소를 대각원소라고도 합니다.

 

그리고 마지막으로 저렇게 구한 det(A)가 0이 아닐 때 우리는 정칙행렬, 가역행렬이라고 정의합니다.

 

마무리를 하며,,,

 

여러분, 가역행렬이라는 소리를 들으면 뭐가 떠올리시나요?

  -행렬식이 0이 아님

  -역행렬 있음

  -정방행렬임

 

적어도 세 가지는 필요충분조건임을 알고 가시길 바라며, 이만 끝내겠습니다.