선형대수학 #4 3X3 행렬 수반행렬 이용해 역행렬 구하기

이번에는 지난번에 언급한 대로 수반행렬을 이용해 역행렬을 구해보겠습니다. 

 

수반 행렬이란, 딸림 행렬이라고도 합니다. 일반적으로 adj(A)라고 표현합니다.

 

참고로 adj는 adjoint의 약자입니다.

 

먼저 수반 행렬은 정방 행렬이며, 행렬식과 관련이 깊습니다.

 

행렬식으로 수반행렬을 구하기도 하고, 그 반대로 수반 행렬을 이용해 행렬식을 구하기도 합니다.

 

수반행렬을 제일 많이 사용할 때는 역행렬 전체를 구할 때가 아니라 A 행렬의 역행렬 2행 4열의 원소를 구하시오.와 같이 특정 원소만 구할 때입니다.

 

물론 크레마 공식을 이용하는 것도 수반행렬을 이해해야만 왜 이렇게 되는지 가늠이 될 거라고 생각합니다.

(크레마 공식은 추후 다룰 예정이며 이번 포스팅에서는 수반행렬에 관한 내용만 알아볼게요.)

 

수반 행렬이라고 들으면 가장 먼저 행렬식과 역행렬을 떠올리셔야 합니다.

(당연히 모든 수반행렬은 정방행렬입니다.)

 

수반행렬의 정의

 

정의를 살펴보면 다음과 같습니다. (i는 행을 의미하며, j는 열을 의미합니다.)

여기서 C란 여인수를 의미하고 T는 transpose(전치)를 의미합니다.

 

먼저, 전치행렬이란, 행과 열을 바꾼다고 받아들이시면 됩니다.

예를 들어 다음과 같은 행렬 B와 B의 전치행렬을 볼 수 있습니다.

전치행렬 예시

보다시피 주대각 원소들은 바뀌지 않습니다. 

주대각성분이라 함은 좌측에서 우측으로 대각선 원소 성분을 말합니다. 위 행렬에서는 1, 5, 9가 되겠습니다.

그리고 이 원소들의 합을 trace B, tr(B)라고 합니다. 혹은 대각합이라고도 해요.

 

수학에서 이름붙여진 개념치고 안 중요한 개념이 없습니다. 당연히 trace도 중요한 개념입니다.

지금은 전치해도 trace(대각합)은 변하지 않는다. 정도만 알면 될 것 같습니다. 단, 정방행렬임을 전제합니다.

 

이제 C(여인수)가 무엇인가 하면, 기존 행렬에서(위에서 B행렬이라고 하면) i행 j열을 제외한 행렬의 행렬식입니다.

위치에 따라서는 +/- 부호가 붙습니다. 이건 잠시 후에 다루도록 하겠습니다.

 

예를 들어, B 행렬의 1행 2열의 여인수 전개는 다음과 같습니다.

 

1행 2열의 여인수

 

앞에 (-1)의 거듭제곱은 i+j의 합으로 정해집니다. 그래서 항상 상하좌우와는 다른 부호를 갖게 되고, 대각성분 위치에서 여인수를 구하면 무조건 + 부호를 붙입니다. 그냥 일일히 합을 구하지 않아도 대각성분을 기준으로 +/-를 붙이는게 저는 더 빠르게 계산할 수 있더라구요.

 

이런식으로 1행 1열부터 3행 3열까지 여인수 전개를 다 마치면 우리는 3X3 행렬을 얻을 수 있습니다.

여인수 전개

 

자 이제 이 행렬의 전치행렬이 수반행렬입니다.

굳이 전치된 행렬까지는 적지 않겠습니다. 다만 이런 방식으로 역행렬을 구하는게 얼마나 귀찮은 일인지 이해하셨다면 다 된겁니다.

물론 어쩔 수 없이 구해야 할 때는 어쩔 수 없지만, 가능하면 서술형이 아니면 이런 식으로 구하지 않습니다.

 

다 행렬의 특성을 활용해서 구하거나, 크레머 공식을 활용한다는 점을 명심해주세요. 진짜 시간이 부족하지 않을 때나 서술형일 때만 이렇게 풀이합니다.

 

다들 그래도 한번씩은 연습해보시고 계산에 익숙해지시길 바랍니다. ㅎㅁㅎ

 

다음에는 수반행렬의 특징과 행렬식의 특징에 대해 다뤄볼까 합니다.